高校数学Ⅲ
5分でわかる！放物線の方程式（２）
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この動画の要点まとめ
ポイント
放物線の方程式(2)
これでわかる！
ポイントの解説授業
POINT
この放物線は，焦点Fがx軸上にあるのでしたね。これに対して，今回の授業では焦点Fがy軸上にある放物線の式について解説します。
焦点はF(0,p) 準線はℓ：x=-p
放物線の定義は，焦点Fと準線ℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡です。今回は，焦点F(0,p)，準線ℓ：y=-pとする(p≠0)とき，Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡を式で表してみましょう。
POINT
点Pから直線ℓに引いた垂線の足をHとすると，定義からPH=PFとなりますね。PH=PFを計算すると，最終的に x2=4py が導けます。これが焦点F(0,p)，準線ℓ：y=-pとする放物線の方程式となるのですね。上の図では，原点(0,0)が頂点となっています。
y=(1/4p)x2の2次関数
放物線の方程式：x2=4pyから y=(1/4p)x2 と式変形できますね。数学Ⅰで学習した2次関数の式の形になります。
POINT
焦点Fがy軸上にある放物線の式は x2=4py であること，グラフを描くときは y=(1/4p)x2 と式変形することをおさえておきましょう。
「Fとℓからの距離が等しい」を式で表すと……
ちなみに，PH=PFから x2=4py を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。
放物線の方程式x^2=4pyの導出
PH=PFより，
√{x2+(y-p)2}=|y+p|
両辺を2乗して，
x2+(y-p)2=(y+p)2
これを整理して，
x2=4py
前回の授業では，焦点F(p,0)，準線ℓ：x=-pとする(p≠0)とき，Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡が放物線：y2=4pxとなることを学習しました。