この問題を解くポイントは、 「不定詞の使い方③『～するための』」をしっかりとおさえること です。
不定詞は to 動詞の原形 の形をとり、 「カタマリ」で意味を足す ことができるんだ。
文では toを「＋(プラス)」とイメージする と考えやすいよ。

では、さっそく問題を解いていこう。

「私は今日することがありません」は、「私には今日 するための ことが何もありません」と言い換えられるね。
「私には何もありません」と「今日するための」という意味のカタマリに分けて考えるよ。

nothingは「何も～ない」という意味だね。
「私には何もありません」はI have nothingで表せるよ。

ここに、「今日 するための 」というカタマリを不定詞で足そう。

I have nothing to do today.となるよ。
to do todayは、直前のnothingにかかっているんだ。

to do today「今日 するための 」のカタマリの部分には、
「何をするのか」にあたる名詞が足りないように見えるよね。
そのことで、前のnothingとのつながりが考えやすくなるんだ。

続いて、(2)を見てみよう。

「彼は一緒に遊ぶ友達がいません」は、
「彼は友達がいません」と「一緒に遊ぶ」という２つの意味のカタマリに分けて考えていくよ。

「彼は友達がいません」は、He has no friendと表そう。

また、「一緒に遊ぶ友達」は、「一緒に遊ぶための友達」と考えることができるね。
このカタマリをtoで足して、「友達」にくっつけよう。

「～と一緒に遊ぶ」はplay with～で表せるから、不定詞を使ってくっつけよう。
He has no friend to play withとなるよ。
to play withは、直前のno friendにかかっているね。

withの後ろに名詞が足りない気がするかもしれないね。
でも、この形で正解。
カタマリの中に名詞が足りないように見えることで、
前の名詞との結びつきが見えやすくなるんだったね。