この問題を解くポイントは、 「toの省略(原形不定詞)」をしっかりとおさえること です。
toではなく動詞の原形から始まるのが「 原形不定詞 」。
使役動詞のmake、have、let などや 知覚動詞のsee、hear などは、後ろに 原形不定詞 のカタマリをつくるんだ。

では問題を見ていこう。

「部屋からの外出」はgo out of the roomと表せるね。
ここでは、 let に着目しよう。letは 使役動詞 で、「 目的語が～するのを許す 」という許可の意味があったね。
使役動詞 の後ろには 原形不定詞 がくるんだったね。 let＋目的語＋原形 の形をつくろう。
下線にはgoを補い、The doctor let me go out of the room.となるね。

続いて、(2)を見てみよう。

speak ill of othersで「他の人を悪く言う」という意味だね。

have never heardとあるから、現在完了形だとわかるね。
「今までに～したことがない」という経験の否定を表しているよ。
現在完了形はhave＋過去分詞の形だから、heardは、 知覚動詞 hearの過去分詞なんだ。
hear＋目的語＋原形 で「 目的が～するのを聞く 」という意味だったね。
「彼が他の人を悪く言うのを」とあるから、heard himの後ろには、原形speakを補うよ。