この問題を解くポイントは、 「動名詞の使い分け①」をしっかりと押さえること です。
動名詞 は 動詞＋ing の形で、 「～すること」 というカタマリをつくるよ。
不定詞のカタマリと動名詞のカタマリを、動詞の後ろでどう使い分けるか 見ていこう。

例えば、動詞stopの後ろにカタマリを置くとき、 stop to＋動詞 の場合は、「止まって、／～する」や「～するために／止まる」のように、stop／to＋動詞と区切って考えることができるんだ。
stop 動詞＋ing の場合は、「～することをやめる」のように、カタマリが前のstopとの間でちぎれないんだ。

stop以外に、rememberやforgetも、後ろに不定詞がくるときと動名詞がくるときとで、意味が変わってくるよ。
rememberやforgetの後ろに、不定詞がくると未来、動名詞がくると過去のニュアンスになるよ。

では問題を解いていこう。

(1)(2)をまとめて見ていくよ。
どちらも動詞はstopの過去形stoppedが使われているね。
後ろのカタマリが不定詞か動名詞かで、意味の違いに注意して訳そう。

まず(1)を見てみよう。
smokeで「タバコを吸う」、at lastで「ついに」という意味だね。
stopの後ろに、smoking at lastという、 動名詞 のカタマリがきていることに注目しよう。
stop 動詞＋ing で、「 ～することを止める 」という意味だったね。
stop smokingは「タバコを吸うのを止めた」となるよ。
文全体では、「 彼はついにタバコを吸うのを止めた 」となるね。

次に(2)を見てみよう。
stopの後ろには、to smoke under the treeという不定詞のカタマリがきているね。
stopの後ろにtoがきているときは、stopとtoの間でいったん区切って考える よ。
He stopped／to smoke under the tree.と考えることができるね。
He stoppedは「彼は止まった」、to smoke under the treeは「木の下でタバコを吸う」だから、
文全体では「 彼は止まって、木の下でタバコを吸った 」となるね。

続いて(3)(4)を見てみよう。

まずは(3)。such a thingは「そんなこと」という意味です。
rememberも、stopと同じように、後ろに不定詞がくるか動名詞がくるかで、意味が変わる動詞だったね。
rememberは、後ろが 不定詞 のときは「 未来 」、後ろが 動名詞 のときは「 過去 」のニュアンスで訳すよ。

rememberの後ろの、saying such a thingという動名詞のカタマリに着目しよう。
remember 動詞＋ingは、「～したことを覚えている」と過去のニュアンス で訳そう。
文全体では「私はそんなことを言った覚えはない」となるね。

続いて(4)。lockは「カギをかける」という意味です。

forgetは「～を忘れる」だから、Don't forgetは「～を忘れるな」という意味だね。
「忘れるな」は「覚えておく」と同じことだから、Don't forget=Rememberと同じだね。

remember to＋動詞は、「(これから)～することを忘れない」という未来のニュアンス で訳すんだったね。
Don't forget to＋動詞 も、Don't forget＝Rememberだから、同じように訳せるね。
だからこの文は、「 ドアにカギをかけるのを忘れないように 」となるね。

forget to 動詞は、「(これから)～するのを忘れる」となるよ。
rememberとforgetは、後ろが 不定詞 のときは 未来 のニュアンス、後ろが 動名詞 のときは 過去 のニュアンスを出して訳そう。