この問題を解くポイントは、 「主語が異なる分詞構文」をしっかり押さえること です。
主語が異なる分詞構文 は、 分詞の前に意味上の主語 を置こう。
主語 ＋分詞 ～ , 主語＋動詞 … .という形になるよ。

では、さっそく問題を解いていこう。

dinnerは「夕食」、wash handsは「手を洗う」だね。
Dinner＋現在分詞beingでいきなり文がはじまっているから、 分詞構文 だとわかるね。
Dinner being readyが１つの意味のカタマリで、
後半のメインの文、we went to wash our handsにかかっているんだ。
メインの文は、「私たちは手を洗いに行った。」だね。

メインの文の主語はweだけど、
分詞のカタマリの意味上の主語はDinnerだね。
主語が異なるから、分詞の前に、意味上の主語が置かれている んだね。

前後のつながりを考えて、「夕食の準備ができた ので 」と、理由のように訳すと自然だね。

「私たちが」準備できたのではなく、「夕食が」準備できた。だから、主語が異なる分詞構文になるんだね。

次に(2)を見ましょう。

This letter＋過去分詞writtenで、いきなり文がはじまっているから、 分詞構文 だとわかるね。
This letter writtenが意味のカタマリで、メインの文Lisa left the roomにかかっているんだ。

メインの文の主語はLisaだけど、
分詞のカタマリの意味上の主語はThis letter。主語が異なるね。
だから分詞の前に、 意味上の主語 が置かれているよ。

主語が異なる分詞構文 なので、 分詞の意味上の主語＋分詞を、主語＋動詞、のように見て訳してみよう 。
This letterを主語、writtenを動詞のように見てみるよ。

メインの文は、「リサは部屋を出た」。
分詞のカタマリ の部分は、「この手紙が書かれて」や「この手紙が書かれたあとで」ということだね。

ものが主語のときは、人が主語になるように訳しなおしてあげると、より自然になるよ。
ここでは、「この手紙を書いて」や「この手紙を書いたあとで」と訳すと良いね。