英文を和訳する問題だね。(1)(2)どちらの文も，thatのあとに主語+動詞の文が続いているよ。このthatがどんなはたらきをするかに注目して訳していこう。

We are surprised at the newsで，「私たちはその知らせに驚く」。the news「その知らせ」って，いったいどんな内容なんだろうね？

この英文では，the newsに続く that he died suddenly で説明しているよ。

thatはthe newsの内容をイコールで表す同格のthatと考えられ，the news that he died suddenly「彼が突然亡くなったという知らせ」と訳せるね。

the news「知らせ」 という抽象的な名詞に，同格のthatを付けて内容を具体的に説明しているんだね。

There is no hope で「希望はない」。どんな希望がないんだろうね？

この英文では，hope に続く that he will recover で説明しているよ。

thatはhopeの内容をイコールで表す同格のthatと考えられ，hope that he will recover「彼が回復するという希望」と訳せるね。

hope「希望」 という抽象的な名詞を同格のthatで具体的に説明しているね。