今回は 「『A∪B』の要素の個数」 について学習しよう。

「A∩B」「A∪B」がどんな集合を表すか、数学Ⅰで学習した内容をしっかり覚えているかな？
例えば、
A=｛2,4,6,8｝
B=｛3,6,9｝
という2つの集合で考えてみよう。

集合Aにも、集合Bにも「6」という要素が入っている のが分かるよね。集合Aにも集合Bにも含まれる、 重なっている部分 のことを、集合Aと集合Bの 「共通部分」 というよ。数学では 「A∩B」(AかつB) と表すんだ。

一方、 集合Aと集合Bのどちらかに含まれる部分 のことを、集合Aと集合Bの 「和集合」 というよ。数学では 「A∪B」(AまたはB) と表すんだ。上の例では、「2,3,4,6,8,9」が、AとBの和集合にあたるね。

「∩」と「∪」の区別がつかなくなりそうな時は、次のようにイメージしてみよう。
和集合∪は、共通部分よりも要素の個数がたくさんになるよね。だから、和集合は「たくさんあってバンザーイ」の形、というイメージで、「∪」。

逆に共通部分は「少なくってがっかりだなー」と肩を落としているイメージで「∩」だよ。

さて、用語を確認したところで、いよいよここからが今日のポイント。「集合(A∪B)の要素の個数の求め方」を学習していこう。

(A∪B)は、集合Aと集合Bの要素を合わせた集合のことだよね。ということは、その要素の個数n(A∪B)は、n(A)+n(B)で求められる・・・と考えちゃうんだけれど、注意があるんだ。次のポイントを確認してみよう！

集合(A∪B)の要素の個数n(A∩B)は、
n(A∪B)＝n(A)+n(B)-n(A∩B) のように、
n(A)+n(B)のあとで、 n(A∩B) を引く必要があるんだね。

最初に示した、
A＝｛2,4,6,8｝
B＝｛3,6,9｝
の例で考えよう。集合Aと集合Bには、ともに「6」が含まれているよね。 Aの個数とBの個数をそのままたしてしまうと、この共通部分を、余分に1回数えてしまうことになる んだ。したがって、余分に数えてしまうのを後から引くために、n(A∩B)を引いているんだね。

「A∪B」の要素の個数の表し方がわかったかな？ 例題・練習を通して、このポイントをしっかり身につけていこう。