「順列」や「組合せ」の知識を応用させて解く問題の第2回目。定期テストでよく出題される 「最短の道順」の数え方 を学習しよう。

今回考えるのは、 格子状に道路がはりめぐらされた地図で、ある2点をつなぐ最短の道順を考える問題 だよ。具体的には、次のようなケースなんだ。

一見、「順列」や「組合せ」の知識とは関係がなさそうに見えるけど、実は前回の授業で学習した 「同じものを含む順列」 の考え方を使って解くことができるんだ。ポイントを確認しよう。

ポイントの内容を詳しく解説していこう。今回の地図をよく見て、まずは 最短で進む とはどういうことが考えてみよう。

「↑↑↑→→→→」と、先に上まで行ってから右へ進んでもいいし、「→→→→↑↑↑」と、右へ行ってから上に進むルートもあるよね。「→↑→↑→↑→」と、ジグザグに進んでも、道順は最短だよね。

つまり、 最短で進むには、「上（↑）」に3回、「右（→）」に4回進む ということがわかるね。「下（↓）」に進んだり、「左（←）」に進んだりすると回り道になってしまうから、最短の道順にはならないんだ。

ということは、この問題で求める場合の数は、 上（↑）3回、右（→）4回の合計7回分の決め方 になるよね。もっといいかえると、 上（↑）3個、右（→）4個の計7個の並べ方 になるんだよ。

「↑3個、→4個の並べ方」では、 3つの↑と4つの→にはそれぞれ区別がない よね。したがって 同じものを含む順列 として計算することができるんだね。