この例題を通して、割り算（除法）と余りの証明問題について、証明の準備段階である 「場合分け」 についてしっかりマスターしよう。

整数nを 「2で割ったときの余り」 で場合分けするよ。具体的に、整数を並べてみると、
…-3， -2 ，-1， 0 ，1， 2 ，3， 4 ，5， 6 ，7…
となるよね。
このとき、「2で割ったときの余り」に注目すると、色がでついた数は、 「2で割ると余りが0」 、そうでない数は、 「2で割ると余りが1」 となっていることが分かるかな。

つまり、
(ⅰ) 2で割ると余りが0
(ⅱ) 2で割ると余りが1
の 2つのパターン に分けられるわけだよ。

こうして言葉で表されたものを、式に変換するのは何度もやってきたよね。
2で割ると余りが0 は
2k (kは整数)
2で割ると余りが1 は
2k+1 (kは整数)
となるね。整数nを「2で割ったときの余り」で場合分けすると、 2k と 2k+1 という形で書き表せるんだ。