79x+19y=1の整数解を1組だけ見つけよう。 互除法 の使い方がカギになるよ。

x，yの係数に着目しよう。79と19で、これらの数は 互いに素 だよね。つまり、 79と19の最大公約数は1 になる。最大公約数が1ということは、79と19で互除法を使うと、 必ず最後に「余り1」があらわれる んだ。

79＝19×4+3
19＝3×6 +1
x，yの係数について 「余りが1」 となるまで、互除法を使おう。

「余りが1」となるまで互除法を使うのは、最終的な解答のゴールを次のようにイメージしているからだったね。
79×□+19×○＝ 1
この式にあてはまる整数が1組見つけたいわけだから、「=1」の式をつくるんだね。

でも、「19-3×6=1」ではまだ、ゴールである「79×□+19×○＝1」の式には遠いよね。そこで、
19- 3×6 =1
3×6 に着目して式変形をしていこう。互除法の途中式 79＝19×4+3⇔3＝79-19×4 を、上の式の 3 に代入すると、
19- (79-19×4) ×6=1
⇔79× (-6) +19× 25 ＝1
となるよ。