「内心」をヒントにして解く問題だね。 内心 とは、 内接円の中心 のこと。内接円の中心だからこそわかる、次の2つの特徴をしっかりおさえておこう。

手がかりが少なそうに見えるね。考えやすくするために、 内心をＩ として、AI，BI，CIを結んでみよう。

AIの延長線と辺BCとの交点をHとすると、 AHは辺BCの垂直二等分線となる ことがわかるかな？ 中学校の数学で、 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する という重要な性質を学んだことを思い出そう。 AH⊥BC、BH=CH=4 となるね。

さて、何から攻めれば、半径rを求められるだろう。内接円の半径を求めるときのカギは、実は △ABCの面積 なんだ。 内接円の半径 と 面積 には、 密接な関係 があるんだよ。図を見てみよう。

△IBC、△ICA、△IABの3つの三角形は、それぞれ△ABCの3辺を底辺とするよね。 高さ は、すべて 内接円の半径r になっているんだ。つまり、
△ABC＝△IBC+△ICA+△IAB
より、以下のような式を立てることができるよ。

あとは△ABCの面積を表すことができれば、rについての方程式を立てることができるわけだ。

△ABCは二等辺三角形だったね。 AH⊥BC、BH=CH=4 がわかっているから、△ABHについて、 三平方の定理 から、AHを求めよう。

AH=√(6²-4²)=2√5
だよ。つまり、△ABCの面積は、
△ABC=(1/2)×8×2√5＝8√5

△ABCの面積を2通りで表したことで、rについての方程式ができあがったよ。あとは、次のように答案をつくればＯＫだね。