分母が2次式で表されている分数の和の問題です。次のポイントの内容をよくおさえて解いていきましょう。

分母がk²+3k+2と2次式で表されているパターンです。分母が2次式の分数の和は、k(k+1)や(2k-1)(2K+1)のように、(カッコ)×(カッコ)の形に 因数分解 したあとで、 差分解 しましょう。

分母は
k²+3k+2=(k+1)(k+2)
ですね。分解して差の形を考えると、次のようになりますね。

分解が完了したら、和を書き出してみましょう。

前のカッコと後ろのカッコの中に注目しましょう。 1/3から1/(n+1)までの値はピッタリ打ち消しあって 、 1/2-1/(n+2) だけ残りますね。整理して計算すると答えが出てくるのです。