(自然数)×(等比)の形になっている和を求めてみましょう。先ほどのポイントで解説した３つの手順で解いていきます。

まずは数列がどんな規則で並んでいるのかを確認しましょう。 積の前の部分 は、1,2,3,……,nと 自然数 がnまで続きますね。 積の後ろの部分 は、1,3,3²,……,r^n-1と 公比r の数が続きます。つまり、この問題は、 (自然数)×(等比)の和 を求める問題なのです。

ではポイントの手順にしたがって解いていきましょう。

手順① Sを書き下す
手順② 公比rをSにかける
手順③ S-rSを計算する
これら３つの手順を行うと次のような式が出てきます。

手順③ S-rSを計算する によって出てきた式をよく見てみましょう。1+3+3²……+3^n-1は初項1、公比3の 等比数列 なので、 等比数列の和の公式 を使って次のように計算できますね。

あとは、両辺を-2で割れば、求めたいSをrの式で表すことができるのです。