a_n+1=pa_n+qの形で表される漸化式ですね。このパターンの式は、解法の手順をしっかり覚えていないと解くことはできません。ポイントをよく思い返しながら解説を聞いてください。

まずは a_n+1－α=p(a_n－α) の形で表すように式を変形していきます。

a_n+1=3a_n+4のa_n+1とa_nをαでおくと、
α=3α+4
⇔ α=－2
このαを利用して、次のように辺々を引き算するのでしたね。

こうして
a_n+1+2=3(a_n+2)
と表すことができましたね。

さらに、
a_n+1+2=3(a_n+2)
について、a_nを単独で見るのではなく、 a_n+2というカタマリで見て みましょう。すると、 数列{a_n+2}が公比3の等比数列 になっていることに気づきましたか？

数列{a_n+2}において
初項 はa₁+2= 3 ですね。
したがって、
a_n+2=3×3^n－1
あとは2を右辺に移項すれば、a_nをnの式で表すことができましたね。