数学的帰納法を使って証明する問題ですね。「n=1で確認」「n=kを仮定」「n=k+1を証明」という3段階の手順で証明していきましょう。

数学的帰納法では、まず n=1で与式が成り立つことを確認 します。
T(n)4ⁿ－1とおき、n=1を代入すると、
T(1)=4¹－1=3
より、3の倍数であることが成立していますね。

次に、 n=kで与式が成り立つと仮定 しましょう。
つまり、n=kを代入した式
T(k)=4^k－1が3の倍数である
が、"もし成り立つならば……"と仮定するのです。

ここで大事なコツがあります。
3の倍数なら3m (mは整数)
とおきましょう。
4^k－1=3m (mは整数)
とすることで、次の手順③の式で利用しやすくなります。

n=kが成り立っているとき、1つ大きい n=k+1が成り立つことを証明 しましょう。
つまり、
T(k+1)=4^k+1－1が3の倍数である
ことを示していきます。

n=kを代入した式は成り立っているものとして使うことができるので、
4^k－1=3m
⇔ 4^k=3m+1
をT(k+1)の式に代入しましょう。

すると、
T(k+1)=4× (3m+1) －1=12m+3
となり、 12m+3は3で割り切れます ね！したがって、n=k+1の時も成り立つことが証明されました。

これで数学的帰納法による証明は終了です。最後にすべての自然数について式が成り立つということをしっかり書きましょう。