数学的帰納法を使って証明する問題ですね。「n=1で確認」「n=kを仮定」「n=k+1を証明」という3段階の手順で証明していきましょう。

数学的帰納法では、まず n=1で与式が成り立つことを確認 します。
n=1を代入すると、
与式の左辺は1×2=2
与式の右辺も1×2×3/3=2
より、成立していますね。

次に、 n=kで与式が成り立つと仮定 しましょう。
つまり、n=kを代入した式
1・2+2・3+3・4+……+k(k+1)=1/3×k(k+1)(k+2)
が、"もし成り立つならば……"と仮定するのです。

n=kが成り立っているとき、1つ大きい n=k+1が成り立つことを証明 しましょう。
n=kを代入した式は成り立っているものとして使うことができます。
すると、
1・2+2・3+3・4+……+k(k+1)=1/3×k(k+1)(k+2)
⇔1・2+2・3+3・4+……+k(k+1) +(k+1)(k+2) =1/3×k(k+1)(k+2) +(k+1)(k+2)
となります。両辺に(k+1)(k+2)を加えました。
右辺を計算すると、1/3(k+1)(k+2)(k+3)となり、 与式の右辺にk+1を代入した式と同じ になりますね。したがって、n=k+1の時も成り立つことが証明されました。

これで数学的帰納法による証明は終了です。最後にすべての自然数について式が成り立つということをしっかり書きましょう。