ベクトルONを、ベクトルOA,OBで表す問題ですね。例題の答えを利用して解いていきましょう。

例題より、
ベクトルOM=(1/3)ベクトルOA+(1/2)ベクトルOB
でした。ベクトルOMのk倍がベクトルONになるため、
ベクトルON=kベクトルOM
⇔ ベクトルON=(k/3)ベクトルOA+(k/2)ベクトルOB
と表すことができます。

さて、ここからどのようにしてkの値を求めればよいのでしょうか？ 問題文で与えられた条件のうち、まだ使っていないものがあります。点Nは、直線OMと 直線AB との交点でしたね。 点Pが直線AB上の点 ということは、次のポイントを使うことができます。

点Pが直線AB上の点 ということから、ベクトルOPをベクトルOA,OBで表すと 係数の和が1 になるのです。

つまり、
ベクトルON= (k/3) ベクトルOA+ (k/2) ベクトルOB
において、
k/3+k/2=1
となります。計算すると、k=6/5となり、ベクトルON=(2/5)ベクトルOA+(3/5)ベクトルOBと表せますね。