ベクトルPQを、ベクトルAB,AD,AEで表す問題です。これまでの空間ベクトルの解法ポイントをフル活用して解いていきましょう。

情報量が多くて、手間がかかりそうな問題ですね。まずは与えられた条件を図示してみましょう。

求めたいベクトルPQに対して、表したい3つのベクトルはAB,AD,AEです。3ベクトルの始点AにあわせるようにベクトルPQを差分解すると、
ベクトルPQ=ベクトルAQ-ベクトルAP
と、できますね。

あとは、 ベクトルAQ,APをそれぞれベクトルAB,AD,AEで表現していけばよい のです。

点Pは問題文よりBDを2：1に内分する点とあるので、分点公式より、
ベクトルAP=(ベクトルAB+2ベクトルAD)/3 ……①

点QはEGを1：2に内分するので、分点公式より
ベクトルAQ=(2ベクトルAE+ベクトルAG)/3 ……②
　　　　 =(ベクトルAB+ベクトルAD+3ベクトルAE)/3

①②のベクトルの式を、 ベクトルPQ=ベクトルAQ-ベクトルAP に代入すると、次のように答えが出てきますね。