今回は、 平面ABCのベクトル方程式 について学習しましょう。前回の授業では、座標軸に垂直な平面をx,y,zの方程式で表しましたね。今回は、空間における平面を ベクトルの関係式で表す ことを考えていきます。

具体的には、3点A,B,Cで構成される平面ABCを考えます。この平面ABCを表すベクトル方程式がどのような形になるかわかりますか？ちょっと想像もつきませんよね。

先に結論から伝えましょう。平面ABCを表すベクトル方程式は、次のポイントのようになります。

平面ABC上の点をPとおくとき、平面ABCを表すベクトル方程式は、ベクトルOA,OB,OCを用いて、
(ベクトルOP)= (1-s-t) ベクトルOA+ s ベクトルOB+ t ベクトルOC
と表すことができます。この式で重要なのは、ベクトルOA,OB,OCの 係数の和が1 になるという点です。

ポイントが成り立つ理由もおさえておきましょう。

順番に解説していきます。まず平面ABC上に点Pをとります。 点Pが平面ABCにある ということから、ベクトルAPは 同じ平面ABC上にある他の2つのベクトルの和の形で表す ことができますね。そこで実数s,tを用いて、
(ベクトルAP)=s(ベクトルAB)+t(ベクトルAC) ……①
と表しましょう。

①の式が、(ベクトルOA)を表すように式変形すると、次のポイントの式のようになるわけです。

(ベクトルOP)= (1-s-t) ベクトルOA+ s ベクトルOB+ t ベクトルOC
によって定められる点Pをすべて集めると、平面ABCになります。これが、平面ABCのベクトル方程式になるのです。

係数の和が1 の関係式は、平面ベクトルにおいて 直線AB上の点 を表すときにも使いましたね。空間ベクトルにおいては、 平面ABC上の点 を表すときに使えるのです。