ベクトルOPを、ベクトルOA,OB,OCを用いて表す問題です。問題文の図からもわかる通り、点Pは平面ABC上の点になりますね。このことから、次のポイントの 係数の和が1 を上手く活用することを考えましょう。

点Pは、ONと平面ABCとの交点ですね。点Pは直線ON上にあるので、
(ベクトルOP)=k(ベクトルON) (kは実数)……①
と表せます。

ここで点Nは、線分LMの中点であることから、
(ベクトルON)={(ベクトルOL)+(ベクトルOM)}/2
と表せます。さらに点L,Mはそれぞれ辺OA,BCの中点なので、
(ベクトルON)={(ベクトルOA)/2+(ベクトルOB+ベクトルOC)/2}/2
⇔ (ベクトルON)=(ベクトルOA)/4+(ベクトルOB)/4+(ベクトルOC)/4 ……②

①②を整理して、
(ベクトルOP)=k/4(ベクトルOA)+k/4(ベクトルOB)+k/4(ベクトルOC) ……③
となります。

③の式において、実数kの値を定めることができれば答えになりますね。ここで 点Pが平面ABC上の点 であることを考えましょう。ベクトルOPを、ベクトルOA,OB,OCで表すと、 係数の和が1 になりますよね。

よって、 (k/4)+(k/4)+(k/4)=1 より、 k=4/3 。③に代入して、(ベクトルOP)=1/3(ベクトルOA)+1/3(ベクトルOB)+1/3(ベクトルOC)となりますね。