「放物線の平行移動」 の問題だね。
ポイントは以下の通りだよ。「頂点の移動」に注目すればＯＫだったね。

２つの放物線をぴったり重ねるために、 「ｘ軸方向、ｙ軸方向にそれぞれどれだけ」 移動すればいいか、を求める問題だよ。２つの放物線の 頂点 がぴったり重なるように移動させることを考えよう。

まずは、それぞれの放物線の頂点を求めると、

だね。この２つの放物線の位置関係を、簡単にグラフに表すと、

あとは、放物線の頂点 （１，２） をどう移動すれば、 （３，５） に重なるかを考えればＯＫ。
ｘ軸方向は３－１＝２
ｙ軸方向は５－２＝３
だね。

「どうして頂点の移動だけを考えればいいの？」と思った人もいるかも知れないね。これまでの勉強を思い出してみよう。

問題に出てきた、 「ｙ＝（ｘ－１）²＋２」 の放物線は、 「ｙ＝ｘ²」 をｘ軸方向に＋１、ｙ軸方向に＋２平行移動したものだよね。
そして、 「ｙ＝（ｘ－３）²＋５」 の放物線も、 「ｙ＝ｘ²」 が元になっていて、これをｘ軸方向に＋３、ｙ軸方向に＋５平行移動したものだよ。

つまり、２つの放物線は、同じ 「ｙ＝ｘ²」 が元になっているから、 同じ形 をしているんだね。だから、あとは頂点の位置だけ合わせてやれば、放物線全体がぴったり重なるんだよ。