「２次関数の最大値」 を求める問題だね。
ポイントは以下の通り。２次関数では、こうして最小値や最大値を求める問題が非常によく出るよ。グラフをイメージして解いていこう。

最小値や最大値を求める問題では、式だけ見ていてもピンとこないよ。グラフで考えてみよう。

ｙ＝－（ｘ－１）²＋２より、 ｘ²の係数がマイナス だから、 上に凸な放物線 がかけるね。

グラフは上にいけばいくほどｙの値が大きくなり、下にいけばいくほどｙの値が小さくなっていくよ。

すると、ｙの最大値はどうだろう？ 図を見てもわかる通り、 上に凸な放物線 では、 頂点（１，２）で最大値 をとっているね。
解答を書くときには、 「ｘ＝□のとき、最大値ｙ＝○」 という書き方をしよう。