「軸に文字を含む場合の、２次関数の最大値」 を求めよう。
ポイントは以下の通りだよ。軸が、範囲の真ん中より左にあるか右にあるかで場合分けしよう。

平方完成をして、頂点を求めよう。
ｙ＝（ｘ－ａ）²－ａ²＋１ より、
頂点は（ａ、－ａ²＋１）、下に凸な放物線がイメージできるね。

１≦ｘ≦３と範囲があるので、範囲の真ん中である「ｘ＝２」を分岐点にして場合分けしていこう。 「ａ≦２のとき」 、 「２≦ａのとき」 の２つに分けて答えを出していくよ。

軸：ｘ＝ａが「範囲の真ん中より左」にあるとき、つまり「（ⅰ）ａ≦２のとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

軸が範囲の 真ん中より左 にあるから、 頂点から最も遠い、ｘ＝３のとき に最大値をとるんだ。

軸：ｘ＝ａが「範囲の真ん中より右」にあるとき、つまり「（ⅱ）２≦ａのとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

軸が範囲の 真ん中より右 にあるので、 頂点から最も遠い、ｘ＝１のとき に最大値をとるよ。

解答をまとめると次のようになるよ。ａの範囲によって、２通りの答えを出さなければいけないことに注意しよう。