「『最小値』をヒントに放物線の式を決める」 問題だね。
ポイントは以下の通りだよ。基本に忠実に、グラフで考えよう。

与えられた「ｙ＝ｘ²－２ｘ＋ｃ（－１≦ｘ≦４）」という式では、この２次関数がどこで最小値をとるのかわかりにくいよね。

式を平方完成すると、
ｙ＝（ｘ－１）²－１＋ｃ
頂点（１，－１＋ｃ）で、下に凸な放物線だとわかったよ。

範囲が －１≦ｘ≦４ であることに注意して、 ここでラフ図をかいてみよう。

図より、グラフはｘ＝１のとき、最小値をとることがわかるね。
したがって
－１＋ｃ＝－４
定数ｃの値が定まったよ。