今回は、 「正四面体の高さと体積」 について学習するよ。
「正四面体」 というのは覚えているかな？

上の図を見てみよう。「正四面体」とは、全ての面が 「正三角形」 、つまり、 辺 も、 角度 も、 すべて等しい 特別な四面体だよ。

この「正四面体」は、実はスゴい特徴を持っているんだ。実は 「『１辺』 の長さが分かれば 『高さ』 も 『体積』 も求められるということ。なぜそんなことができるのか。それが今日のポイントだよ。

図を見ながら詳しく解説していこう。

正四面体の頂点Ａから底面ＢＣＤに 垂線ＡＨ を下ろしたとき、この 点Ｈ は、△ＢＣＤの 外接円の中心 になるよ。
ものすごく簡単に言うと、点Ｈは 「三角形のど真ん中」 にくるというわけ。全てが正三角形でできているキレイな四面体だから、イメージできる話だよね。
この特徴を利用すると、正四面体の高さと体積を求めることができるんだ。実際の解き方は、例題、練習を通して解説しよう。

「点Ｈは△ＢＣＤの外接円の中心になる」 って、何となくそんな気はしても、それじゃ納得できない人もいるよね。そこで、解説をしておくよ。

△ＡＢＨと△ＡＣＨについて考えてみるよ。
全ての面が正三角形だから、 ＡＢ＝ＡＣ
辺 ＡＨは共通 しているね。
そして、ＡＨは垂線だから、 ∠ＡＨＢ＝∠ＡＨＣ＝９０°
直角三角形 で 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい から、 △ＡＢＨ≡△ＡＣＨ なんだ。というわけで ＢＨ＝ＣＨ ということが分かるね。
同様にして、△ＡＢＨ≡△ＡＣＨだから、 △ＡＢＨ≡△ＡＣＨ 。

ＢＨ＝ＣＨ＝ＤＨ より、
点Ｂ，Ｃ，Ｄは、 点Ｈを中心 とする 半径ＢＨ の 円周上 にあるということがわかったかな？