放物線と直線が共有点をもつように、aの値の範囲を定める問題ですね。
例題より少し難しくなっていますが、放物線と直線の共有点を調べるときのポイントは同じです。判別式Dを利用するのがポイントでした。

2つのグラフ
y=-x²-a…①
y=ax+3…②
が共有点を持つときのaの値の範囲を求めます。

グラフの式には a がありますね。これは、 aの値によってグラフが移動する ことを意味しています。つまり、aがどんな値をとるかでグラフの位置関係は変わってくるのです。

何を手掛かりにしてaの範囲を求めればよいでしょうか？
問題文で注目するのは、 「共有点をもつ」 というヒントです。
ここから、 連立してyを消去したxの2次方程式が「実数解をもつ」 ことがわかり、 判別式D≧0である ことがわかります。

ｙを消去したxの2次方程式は、
x²+ax+a+3=0
判別式D=b²-4ac より
D=a²-4(a+3)

共有点を持つ＝実数解を持つ なので、 判別式は0以上 です。
D=a²-4(a+3)≧0 より
(a+2)(a-6)≧0
よって、aの範囲はa≦-2,a≧6と求めることができます。