x軸とy軸の両方に接する円の問題ですね。
円が座標軸に接するときのポイントは以下の通りでした。

まずは図をかいてみましょう。
円Cの 半径をr とおくと、 半径がr、中心が(r,r) の円がかけますね。円が点A(2,1)を通るとき、大きい円と小さい円の2通りがかけますが、ここではまず小さい円のみを記します。

よって円の方程式は
(x-r)²+(y-r)²=r²
と表すことができます。

この円は点A(2,1)を通るので、代入すると
(2-r)²+(1-r)²=r²
⇔r²-6r+5=0
⇔(r-5)(r-1)=0
円の半径は1または5であることがわかりました。

よって,
小さい円の方程式は
(x-1)²+(y-1)²=1
大きい円の方程式は
(x-5)²+(y-5)²=25
と2つ求まります。

最初の図が役に立ちました。
問題に行き詰まったら図を書く癖をつけてみましょう。