ある円に外接する、別の円の方程式を求める問題ですね。
2つの円が接するときは、外接と内接で2パターンあるのがポイントでした。

求めたい円の中心は(4,3)とわかっていますが、半径がわかっていません。
(x-4)²+(y-3)²=r²(r>0)とおきます。

この円が、円Cと「 外接 する」という言葉に注目しましょう。
2つの円は 外接 しているので、
d=r₁+r₂
となりますね。

円Cは中心(0,0),半径1の円なので、
中心間距離は d=5
半径の和は r+1
です。

d=r₁+r₂
⇔5=r+1となり
⇔r=4
と求まります。