AQの中点Pの軌跡を求める問題ですね。
軌跡を求めるときは、手順が大事でしたね。

どんな図形を描くのかを数式で表していきましょう。
まず点Pを手順通り(X,Y)とおきます。そして、もう一つのわからない点Qを(x,y)でおきましょう。

点Qは円周上の点ですので x²+y²=4 を満たしています。

求めたいのは点P(X,Y)の軌跡なので、 x²+y²=4 を使って、X,Yの式をつくることを考えていきましょう。

すると、点PはAQの中点より
P=Q+A/2
⇔ (X,Y)=(x+4/2,y+4/2)
⇔ X=x+4/2、Y=y+4/2

X,Y以外の文字x,yがあるので消去 しましょう。
X=x+4/2、Y=y+4/2はx=2X-4,y=2Y-4とそれぞれ変形できます。
これをx²+y²=4に代入しましょう。
(2X-4)²+(2Y-4)²=4
⇔(X-2)²+(Y-2)²=1

最後に X,Yの式をx,y に直しましょう。
軌跡は (x-2)²+(y-2)²=1 となります。