領域におけるx+yの最大値・最小値を求める問題ですね。
x+y=kとおいて、図形的に考えるのがポイントでした。

x≦0,y≧０,y≦x+1の表す領域をDとしましょう。そして求めたい式 x+y=k とおきます。

まずは領域Dを求めると、次のようになりますね。

この領域Dを通過する 直線y=-x+k の範囲を考えましょう。
すると、kはy切片なので、以下の図より -1≦k≦1 で、直線はDを通過しますね。

よって、kの最大値は1、最小値は-1と求まります。
これはすなわち、x+yはx=0,y=1の時最大値をとり、x=-1,y=0の時最小値をとるとも言えますね！