弧度法を使ったsinの値を求める問題ですね。
ポイントは以下の通りですね。符号の変化に注意しましょう。

θ=π/6,3π/4,7π/6,5π/3の時の点を取ってみましょう。

ただし、このままではイメージがしにくいので、度数法に直すと
π/6=30°,3π/4=135°,7π/6=210°,5π/3=300°となります。
この位置にそれぞれ 半径を斜辺とする直角三角形 を作ってあげましょう。

30°の時は 30°,60°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=√3:1:2
sinπ/6は第1象限にあるので符号は プラス となり
y/r より1/2

135°の時は 45°、45°、90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=1:1:√2
sin3π/4の値は第2象限にあるので符号は プラス となり
y/r より1/√2

210°の時は 30°,60°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=√3:1:2
なので、sin7π/6は第3象限にあるので符号は マイナス となり
y/r より-1/2

300°の時は 60°,30°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=1:√3:2
sin5π/3は第4象限にあるので符号は マイナス となり
y/r より-√3/2とそれぞれ求まりますね。