sin³θ+cos³θの値を求める問題ですね。
3乗の因数分解公式を使って、sin、cosの和と積で表すのがポイントでした。

sinθcosθの値が1/8で、θの範囲が0＜θ＜π/2と与えられています。 sin³θ+cos³θを求めるためにはsin,cosの和と積の値が必要 です。まずsinθ+cosθの値を (sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ を使って求めましょう。

sinθcosθ=1/8より、
(sinθ+cosθ)²=1+2×1/8となり
⇔ (sinθ+cosθ)²=5/4

ここで注意！
今回の問題では、θの範囲が存在しますね。なので2乗を外すときに範囲を考える必要があります。
0＜θ<π/2よりθは 第1象限 にあるので sinθ＞0,cosθ＞0 となり、 sinθ+cosθ＞0 といえますね！よって、sinθ+cosθ=√5/2と求まります。

次に sin³θ+cos³θを求めましょう。
sinθcosθ=1/8、sinθ+cosθ=√5/2より
sin³θ+cos³θ
= (sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=√5/2×(1-1/8)
=7√5/16
と求まります。