tanθの方程式を解く問題ですね。
有名三角比から直角三角形を決定し、tanの符号からどの象限にその直角三角形を貼り付けるかを決めていきましょう。

この問題は例題と違ってθの範囲が存在していませんね。
なので、まずは θの範囲を0≦θ＜2π と絞って考えましょう。
すると、θは 第1~4象限 のどこかに存在しますね。

次にtanθの値を求めてみましょう。
tanθ+√3=0より、 tanθ=-√3

手順1 tanの符号に注目
符号は - ですね！
tanの符号図より θは第2,4象限に存在する ことが分かります。

手順2 tanの値に注目
tanの値は -√3 です。
底辺が1、高さが√3 になる直角三角形を考えてみましょう。
ポイントの ウの直角三角形 になりますね。

これで使う直角三角形とθの存在範囲がわかったので
xy平面上の第2,4象限に張り付けてみましょう。

図より、 120°と300° ですね！ 弧度法 になおすと2π/3,5π/3と求まりました。

ここで注意！！
この問題では最初θの範囲に制限がなかったので、とりあえず0≦θ＜2πと設定しました。
しかし、本来は制限などないので すべての範囲において考える必要 があります。
tanの場合180°だけ進むともう一つの答えの場所にきますね。
よって、sin,cosと違い tanはπだけ進めば対応する角の位置にくる ことになります。

この時のnは正の方向と負の方向の回転の両方を考えるので
nは整数 とします。
よって、 2π/3+nπ が答えとなります。