sinθ、cosθが登場する2次方程式ですね。
2つの手順をおさえるのがポイントでした。

5sinθ-2cos²θ+4=0
には、共通因数もなくsin,cosの両方が含まれています。
sin²θ+cos²θ=1 の公式を使って、sinの方程式に 統一 しましょう。

cos²θ=1-sin²θ より
(与式)
⇔5sinθ-2 (1-sin²θ) +4=0
⇔2sin²θ+5sinθ+2=0
⇔(2sinθ+1)(sinθ+2)=0
となりますね。

ここで注意！！
sinθの範囲は -1≦sinθ≦1 ですね。
(sinθ+2)は必ず正の値になる ので、 sinθ=-1/2 だけとなります。

次にθの値を求めましょう、
sinθ=-1/2より、30°,60°,90°の直角三角形がイメージできます。
sinがマイナスなので第3,4象限に直角三角形を貼り付けると、 θ=7π/6,11π/6 と求まります。