sinθ＋cosθを合成、つまり 1つの三角関数にまとめる 問題ですね。
合成は、加法定理の逆演算をするのがポイントでしたね。

ポイントの手順通りに合成していきます。

手順1　sin,cosの係数の2乗の和をルートにいれる
sin,cosの係数は1なので、 √2 をカッコの先頭にだします。
カッコの中は帳尻合わせが必要なので、
sinθ+cosθ
=√2( 1/√2 sinθ+ 1/√2 cosθ)
となります。

手順2　sinθ、cosθの係数を三角関数に置きかえる
sinの係数は1/√2、cosの係数は1/√2です。いずれも有名三角比の値ですね。
sinの係数の1/√2を cosπ/4
cosの係数の1/√2を sinπ/4
とかきかえると、
√2( cosπ/4 sinθ+ sinπ/4 cosθ)
となります。

最終的に 加法定理の逆演算 でまとめることを意識して、カッコの中を(cos×sin+sin×cos)の形にしているのです。

手順3　加法定理でまとめる！
√2(cosπ/4sinθ+sinπ/4cosθ)をsinの加法定理の逆演算でまとめると、√2sin(θ+π/4)と求まります。