今回のテーマは「常用対数の応用(1)」です。
常用対数 とは、 log₁₀ のことを指します。log₁₀を使って、整数の桁数を調べるタイプの問題を学習していきましょう。

例えば、「2の30乗は何桁か」といわれても、パッとは答えられませんよね。どう考えていけばよいのでしょうか。log₁₀を使えば、次のように計算することができます。

ポイントについて詳しく解説していきます。

まずは、少し具体的に考えてみましょう。3桁の数753を、桁数がよくわかるように表すと、次のように書けます。

10²=100≦753(3桁)＜1000=10³
左側の数100は、3桁の数の一番最初。753はこの100より大きいですね。
右側の数1000は、4桁の数の一番最初。753はこの1000より小さい数です。

つまり、
10²≦(3桁の数)＜10³
と表すことができますね。
10 ³ の部分の 3 が桁数を示すことになります。

すると
整数Aがn桁の時、
10^n-1≦A＜10ⁿ
ということが言えますね。

次に、10を底とする対数、常用対数を使って考えてみましょう。
10^n-1≦A＜10ⁿ
にlog₁₀をつけると、
log₁₀10^n-1≦log₁₀A＜log₁₀10ⁿ
となりますね。

さらに整理して、
(n-1)log₁₀10≦log₁₀A＜nlog₁₀10
⇔ n-1≦log₁₀A＜n
とできます。

後はlog₁₀Aを計算すれば、nの値がわかり、整数Aの桁数がわかるというわけです。

次の例題では、実際に「2の30乗は何桁か」を求めてみましょう。