今回のテーマは「f'(a)は接線の傾き」です。
これまで、微分係数の求め方について学習してきましたね。関数f(x)における微分係数f'(a)は、 関数y=f(x)のグラフ で考えるとき、実は x=aにおける接線の傾きになる のです。

このポイントだけを見てサッと理解できる人は少ないと思います。内容を詳しく解説していきましょう。

まず曲線C:y=f(x)上に、点A(a,f(a))と点P(a+h,f(a+h))をとります。点Pは、点Aからx座標がh離れた曲線上の点ですね。

この時、線分APの傾きは yの増加量/xの増加量 より
f(a+h)-f(a)/(a+h)-a = f(a+h)-f(a)/h
となりますね。

点Aを通る曲線上の接線ℓを考えるとき、点Pをどんどん点Aに近づけていくことを考えてください。

すると、（APの傾き）が、どんどん（ℓの傾き）に近づいていきますね。つまり、点P(a+h,f(a+h))において、hの値を限りなく0に近づけると、（APの傾き）が（ℓの傾き）になるのです。

ここで、微分係数f'(a)の求め方を思い出しましょう。

limの後ろの部分を見ると、 APの傾きの式と同じ ですね！
よって、 f'(a)=lim_h→0APの傾き となりますね。 hが限りなく0に近づいていく と、 線分APの傾きはlの傾き になります。

したがって、 関数y=f(x)のグラフ では、 x=aにおける接線の傾きはf'(a)の値になる のです。

実際に問題を解きながら、このポイントを身につけていきましょう。