今回のテーマは「曲線外の点から引いた接線の問題」です。接線公式については、前回の授業で学習しましたよね。重要なので、もう一度復習しておきましょう。

接線公式は、 曲線上の点 における接線の方程式を求める公式でした。では、 曲線外の点 からの曲線への接線の場合、どのように方程式を求めていけばよいでしょうか。ポイントを確認してみましょう。

①～③の手順について確認していきます。

曲線外の点A(p,q)から、曲線y=f(x)に引いた接線の方程式を求めます。

私たちが知っている接線公式は、 曲線上の点 におけるものでしたね。したがって曲線外の点からの接線の場合、すぐに傾きがわかりません。そこで、 接点のx座標をtとおいて、自分で設定 しましょう。

傾きf'(t)、通る1点の座標(t,f(t))より、接線の方程式をtで表すことができましたね。

接線の方程式は y-f(t)=f'(t)(x-t) とわかりました。この直線は、曲線外の点A(p,q)を通りますね。p,qは、実際の問題では2や3などの具体的な数値で与えられています。したがって、x=p、y=qを代入しましょう。

(※)の方程式 q-f(t)=f'(t)(p-t) において、未知数はtだけになりました。このtの方程式を解けば、tが求まり、接点のx座標がわかるわけです。

曲線外の点から、曲線に接線を引く場合、このポイントのグラフのように、接線は 1本とは限りません 。もちろんグラフによっては1本の場合もあります。

では、実際にポイントを使って問題を解いていきましょう。