今回のテーマは「関数f(x)の増減とf'(x)の符号」です。
まずは、 関数f(x)の増加と減少 とはどういう意味か解説していきましょう。次の曲線y=f(x)のグラフをみてください。

グラフは「右上がり（↗）➡右下がり（↘）➡右上がり（↗）」の形になっています。関数y=f(x)のグラフは、 「右上がり（↗）」のとき、yの値がどんどん増加 していくことになりますね。逆に、 「右下がり（↘）」のとき、yの値がどんどん減少 していきます。

関数f(x)の増加と減少 についてはわかりましたね。

関数f(x)のグラフの増減は、実は あるもの を調べるとすぐにわかります。何を調べればよいかわかりますか。みなさんがこれまで学習してきた 導関数f'(x) なのです。

f'(x) は 接線の傾きを計算する関数 でしたね。y=f(x)のグラフに適当な点を打って、接線を引いてみましょう。 接線の傾きが正 なら、 グラフは右上がり になっています。 接線の傾きが負 になっているときは、 グラフは右下がり になります。

つまり、関数f(x)の増減とf'(x)の符号との関係をまとめると、次のようになるわけです。

最後に、なぜどちらも不等号に「＝0」が含まれているのかを考えましょう。グラフを見ると右上がりをしていくと山のてっぺんにいきますね。てっぺんは 傾きが0 です。そしてどんどん下がって、谷の底に行き着くと、そこも 傾きは0 ですね。右上がりから右下がり、右下がりから右上がりになる瞬間は傾きが0になるのです。

f'(x)が0より大きいか小さいかで、グラフの上がり下がりを判別できる ということがわかりましたか。実際にポイントを使って問題を解いていきましょう。