増減表を具体的に作ってみましょう。関数f(x)の増減は、f'(x)の符号によって調べることができますね。

増減表を作る前に、まずは 導関数f'(x)の符号 を調べましょう。

f'(x)=3x²+6x+3
⇔f'(x)=3(x²+2x+1)
⇔ f'(x)=3(x+1)²
符号を調べるため、因数分解をしました。

すると、
3(x+1)²は常に 0以上 となるので、
f(x)は常に増加する関数 だとわかります。
f'(x)=3(x+1)²≧0で、等号成立はx=-1の時ですね。

関数f(x)の増減がわかったので、増減表をつくっていきます。増減表は、 最初に、x,f'(x),f(x)の欄を書きます。

３段重ねの表ができましたね。上から１行目の「xの欄」には、 節目になるxの値 を入れていきます。今回は、f'(x)=0となるx=-1を入れましょう。

次に、上から２行目の「f'(x)の欄」をうめます。x=-1の時、f'(x)の値は0です。x＜-1および-1＜xでは、f(x)は正の値となるので該当するマスに ＋ を書きます。

最後に一番下の行、「f(x)の欄」をうめて仕上げます。f'(x)がプラスの時は ↗（右上がり） の記号をいれましょう。そしてx=-1の時、f(x)の値を求めてうめます。
f(-1)=-1+3-3=-1
表に記入すれば、増減表は完成です。