3次関数の最大値・最小値を求める問題ですね。最大値・最小値を求めるには、グラフの概形をサッと書く必要があります。グラフを書く時のポイントは次の通りでした。

y=x³+3x²について、-1≦x≦2の範囲での最大値と最小値をグラフを書いて求めます。

まず、3次関数が極値をもつかどうかを調べる必要がありますね。
y'=3x²+6x
=3x(x+2)
より、y'=0は、x=0とx=-2の異なる2実数解を持ちます。
つまり、3次関数は極値をもつことがわかりました。

次に、 x³の係数が＋か－か を見極め、グラフを書きましょう。今回は、 x³の係数は0より大きい ので、 上がって、下がって、上がるグラフ になりますね。

グラフから x=-2で極大値 、 x=0で極小値 とわかりますね。
極大値y=-8+12=4
極小値y=0+0=0
となります。

また、この問題では、-1≦x≦2の範囲で最大値と最小値を考えます。左端点は x=-1の時y=2 、右端点は x=2の時y=20 となります。これらをグラフにまとめると、図のようになりますね。

あとはこのグラフを見ながら、最大値と最小値を探しましょう。 最大値はx=2でy=20、最小値はx=0でy=0 と求まりますね。