xⁿを積分する問題ですね。∫f(x)dxは、 微分するとf(x)になる関数 を表す記号だということをおさえて解きましょう。

まずは、∫xⁿdx(nは自然数)の意味を考えましょう。 微分したらxⁿになる関数を探せ と言う意味ですね。

では、xⁿがどうしたら現れるかを考えましょう。
文字のnだと少し戸惑うかもしれませんが、xやx²の積分と解き方は同じです。 1つ大きい次数 を考えればいいのです。

xⁿはxⁿ⁺¹を微分したら現れますね。
(xⁿ⁺¹)'= (n+1)xⁿ
しかし、 (n+1)xⁿ となりxⁿにはなりません。どのようにして、この「係数のn+1」を消したらよいでしょうか？

係数が邪魔な場合は、なくなるように帳尻合わせをしましょう。
あらかじめ、 xⁿ⁺¹に係数(1/n+1) をつけておくのです。
｛(1/n+1)xⁿ⁺¹｝' = xⁿ

よって、∫xⁿdx= (1/n+1)xⁿ⁺¹+C(Cは定数) と求まりますね！このとき、「(1/n+1)xⁿ⁺¹+C」を微分すると、「xⁿ」にちゃんと戻ることがわかります。