2曲線で囲まれる図形の面積を求める問題ですね。 「上の曲線－下の曲線」の積分 がキーワードになります。

求める面積Sがどのようになるのか、グラフをかいて確認しましょう。2曲線y=-x(x-1)とy=2x(x-1)は、いずれもx軸とx=0,x=1で交わっていますね。それぞれ上に凸なグラフと下に凸なグラフです。

したがって、2曲線で囲まれる図形の面積Sは下図になりますね。

正確に書く必要はありませんよ。囲まれ方が大事なんです。ラフ図から 2曲線がx=0,x=1で交わっている ことを意識しましょう。

2曲線が図のように交わっているとき、囲まれる面積は 「上の曲線－下の曲線」の積分 で求めることができますね。積分区間は x=0が面積の始まり で、 x=1が面積の終わり とわかります。