今回は 複素数の極形式(きょくけいしき) について解説します。

これまで複素数zについて，実数a,bを用いてz=a+biの形で表してきましたね。実は，複素数にはz=a+biとは別の表し方があり，それが極形式なのです。

複素数z=a+biを極形式で表すと，
z=|z|(cosθ+isinθ)
であり，角θを複素数zの偏角といいます。

例えば，複素数α=2{cos(π/4)+isin(π/4)}は極形式で表された式の1つです。……といっても，これだけ読んでサッと理解できる人はいませんよね。1つ1つ順を追って説明していきましょう。

極形式を理解するには，複素数z=a+biを複素数平面上で考える必要があります。

点z(a+bi)が上の図のように表され， 原点との距離が|z| となることはすでに学習しましたね。ここで点zが，実軸の正の向きとなす角をθとすると，点zの位置は長さ|z|と角θによって1通りに決めることができます。直角三角形の斜辺が|z|であることから，
a=|z|cosθ
b=|z|sinθ
より， z=a+bi=|z|(cosθ+isinθ) となることがわかりますね。点zが，実軸の正の向きとなす角θを偏角と言います。

今回の授業で特に覚えていただきたいのは，極形式への変形手順です。z=a+biの形で表された複素数は，どうすれば極形式 z=|z|(cosθ+isinθ) に変形できるでしょうか？z=a+biのa，bには具体的な数値が入ります。例えば，z=1+√3iなどの式は，どうすれば極形式に変形できるでしょうか？

次の2つの手順を覚えてください。

手順① |z|を計算する
複素数z=a+biの絶対値|z|は計算で簡単に求められますね。 |z|=√(a²+b²) です。

手順② 角θの値を求める
次に角θの値を求めにいきます。手掛かりになるのは， a+bi=|z|(cosθ+isinθ) の式です。この式に手順①で求めた |z|=√(a²+b²) を代入し，両辺の係数を比較すると，
a=√(a²+b²)×cosθ
b=√(a²+b²)×sinθ
となります。a，bには具体的な数値が入るので，θの値を求めることができますね。

極形式への変形手順を身に着けるには練習が必要です。次の問題で解法を確認していきましょう。

z=1+√3iを極形式で表したときの偏角θを求める問題です。極形式への変形手順は，①|z|を計算する，②角θを求めるでしたね。この問題では，(1)で|z|の値を求め，(2)で角θを求めます。

まずは絶対値|z|を求めましょう。 |a+bi|=√(a²+b²) の公式に，a=1，b=√3を代入すればよいですね。

次に|z|=2を用いて，z=1+√3iを極形式z=|z|(cosθ+isinθ)で表したときの角θを求めます。

重要なのは係数比較でしたね。
1+√3i=2(cosθ+isinθ)
⇔1+√3i=2cosθ+2isinθ
より，1=2cosθ，√3=2sinθとわかります。

cosθ=1/2，sinθ=√3/2であることから，60°，30°，90°の直角三角形が描けますね。

つまりθ=60°です。0≦θ＜2πに注意して，弧度法で表せば答えとなりますね。

(1)(2)より， z=1+√3iの極形式はz=2{cos(π/3)+isin(π/3)} であることがわかりました。