高校数学Ⅲ
5分でわかる！極形式で表される複素数の積
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この動画の要点まとめ
ポイント
極形式で表される複素数の積
これでわかる！
ポイントの解説授業
「絶対値の積」と「偏角の和」
z1z2=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)
として真正面から計算するのは手間がかかります。そこで，極形式どうしの積は次の公式を活用して計算しましょう。
POINT
極形式の積の公式では，2つの点に注目します。
①z1z2の絶対値は，絶対値の積になる
②z1z2の偏角は，偏角の和になる
z1z2=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)を真正面から計算するより，ラクな計算になりますよね。この公式をしっかり覚えましょう。
POINT
【補足】極形式の積の公式の証明
なお， z1z2=|z1||z2|{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)} の公式は，三角関数の加法定理を利用して，以下のように証明できます。
極形式の積の公式の証明
z1z2
=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)
=|z1||z2|(cosθ1+isinθ1)×(cosθ2+isinθ2)
=|z1||z2|{cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isin1θcosθ2+(i)2sinθ1sinθ2)}
=|z1||z2|{(cosθ1cosθ2-sin1θsinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)}
=|z1||z2|{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)}
今回のテーマは 「極形式で表される複素数の積」 です。ある2つの複素数
z1=|z1|(cosθ1+isinθ1)，z2=|z2|(cosθ2+isinθ2)について，これらの積z1z2の求め方を解説します。