z²=1+√3iの方程式を解く問題です。2回かけて，1+√3iになる複素数zの値を求めるのですね。複素数のn乗根の一般的な解法は，前回の授業で学習しましたね。両辺を極形式で表し，絶対値と偏角を比較するのがポイントでした。

このときに注意点があります。両辺の偏角を比較するときは，偏角のとりうる範囲に気をつけましょう。

zⁿについての方程式は，まず両辺を極形式で表すのが手順です。z=r(cosθ+isinθ)，0≦θ＜2πとおくと，z²=1+√3iの左辺は，
z²=r²(cos2θ+isin2θ)
となります。ド・モアブルの定理を使って整理していますね。

一方，z²=1+√3iの右辺を極形式で表すと，|1+√3i|=√(1²+√3²)=2より，
1+√3i=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
です。

したがって，
r²(cos2θ+isin2θ)=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
とできましたね。両辺を極形式にして比較するのがこの問題のポイントなのです。

r²(cos2θ+isin2θ)=2{cos(π/3)+isin(π/3)}
において，両辺の絶対値と偏角が等しくなるように式をつくりましょう。

まず絶対値の部分について。
r²=2
r=√2
とわかりました。

次に偏角の部分について立式しましょう。
ここで単純に，
2θ=π/3
とするのは間違いになります。なぜだか，わかりますか？

いま0≦θ＜2πと設定しているので，0≦2θ＜4πですよね。したがって，
2θ=π/3,7π/3
と2通りの値をとりうるのです。両辺を2で割って，
θ=π/6,7π/6
と求まりました。

求めたr=√2およびθ=π/6,7π/6を，z=r(cosθ+isinθ)に代入すれば答えがわかりますね。