複素数zが描く図形を，x,yの方程式で答える問題です。 |z-α|=|z-β| の方程式は，点A(α)，点B(β)を線分の両端点とする垂直二等分線を表しますね。

|z-2|=|z-4i| は，点A(2)，点B(4i)を線分の両端点とする垂直二等分線を表しますね。求めたいのはx,yの方程式なので，点A(2)，点B(4i)をそれぞれxy平面上の点(2,0),(0,4)と対応させて図を描いてみましょう。

求める垂直二等分線は，2点(2,0),(0,4)の中点(1,2)を通ることがわかりますね。

さらに，求める垂直二等分線は，2点(2,0),(0,4)を通る直線と垂直に交わります。

2点(2,0),(0,4)を通る直線の傾きは-2ですね。直交する2直線の傾きの積は-1となることから，2点(2,0),(0,4)を両端点とする垂直二等分線の傾きは1/2とわかります。

傾き1/2，通る1点が(1,2)の直線の方程式は，
y-2=(1/2)(x-1)
と立式でき，整理すると答えになりますね。