3点0,α,βを頂点とする三角形が正三角形であるという条件をもとに，複素数βの値を求める問題です。頻出パターンの問題なので，解法をしっかり覚えておきましょう。

ポイントとなるのは原点を中心とする回転移動です。いま，原点0と，α=2+4iの位置はわかっていますね。3点0,α,βを頂点とする三角形が正三角形であるということは，βは，原点を中心としてαを(π/3)または(-π/3)だけ回転移動した点と一致します。

回転角が±(π/3)と2通りあることに注意しながら，解いていきましょう。

まずは3点0,α,βを頂点とする正三角形を図示してみましょう。

原点0を中心にαを(π/3)回転させると，(ア)βに一致しますね。ただし，βを表す点は(ア)だけではありません。αを(-π/3)回転させた(イ)βも忘れないようにしましょう。原点を中心にαを(π/3)または(-π/3)だけ回転移動した点βは，
β={cos(±π/3)+isin(±π/3)}×α……①
と表せますね。

βを表す①の式に，問題文で与えられているα=2+4iを代入しましょう。αを(π/3)回転させた(ア)と，αを(-π/3)回転させた(イ)に分けて答えを求めると，次のようになります。