数学Ⅲの第2章は　「式と曲線」　です。xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち，この章では放物線・楕円・双曲線という3種類について学習します。まずは放物線の方程式について解説していきましょう。

みなさんがよく知っている放物線は，数学Ⅰで学習した2次関数の放物線ですね。例えば，y=x²は，頂点が原点(0,0)，軸がx=0の，下に凸な放物線になります。

数学Ⅲで学習する放物線は，このような放物線ばかりではありません。放物線の定義は，定直線ℓと，ℓ上にない定点Fからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡です。例えば，定直線ℓ：x=-p，定点F(p,0)とする(p≠0)と，次のような放物線が描けます。

定直線ℓ：x=-p，定点F(p,0)とする(p≠0)とき，Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡はどのような式で表せるでしょうか？ポイントを確認しましょう。

点Pから直線ℓに引いた垂線の足をHとすると，定義からPH=PFとなりますね。PH=PFを計算すると，最終的に y²=4px が導けます。これが放物線の方程式となるのですね。さらに，定点F(p,0)を放物線の焦点といい，定直線ℓ：x=-pを放物線の準線と呼びます。また，上の図では，原点(0,0)が頂点となっていますね。

焦点Fがx軸上にある放物線の式は y²=4px であることをおさえておきましょう。

ちなみに，PH=PFから y²=4px を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。