高校数学Ⅲ
5分でわかる！楕円の方程式（１）
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この動画の要点まとめ
ポイント
楕円の方程式(1)
これでわかる！
ポイントの解説授業
楕円の定義と方程式
楕円とは，円を縦横に拡大・縮小した図形のことをいいます。例えば，次のようなラグビーボール型の図形が楕円となりますね。
楕円の数学的な定義は，2つの定点F,F'からの距離の和が一定であるような点P(x,y)の軌跡です。a＞c＞0として，2つの 定点F(c,0)，F'(-c,0) から点P(x,y)までの距離の和を2aとするとき，楕円の方程式は次のように表すことができます。
POINT
楕円の定義からPF+PF'=2aとなりますね。PF+PF'=2aにx,yを代入して計算すると，最終的に (x2/a2)+(y2/a2-c2)=1 が導けます。これが楕円の方程式となるのですね。2定点F(c,0)，F'(-c,0)を楕円の焦点といいます。また，上の図では，原点(0,0)が楕円の中心となっていますね。
焦点がx軸上にある楕円は横長になる
今回は2つの焦点がx軸上にある楕円を紹介しましたが，後に2つの焦点がy軸上にある楕円も登場します。まずは2つの焦点がx軸上にある楕円は横長となり， x2の分母がa2，y2の分母がa2-c2 となることをおさえておきましょう。
POINT
「2定点からの距離の和が2a」を式で表すと……
ちなみに，PF+PF'=2aから楕円の方程式を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。
楕円の方程式の導出
PF+PF'=2aより，
√{(x-c)2+y2}+√{(x+c)2+y2}=2a
⇔√{(x-c)2+y2}=2a-√{(x+c)2+y2}
両辺を2乗して，整理すると，
a√{(x+c)2+y2}=a2+cx
さらに両辺を2乗して，整理すると，
(a-c)2x2+a2y2=a2(a2-c2)
両辺をa2(a2-c2)で割って，
(x2/a2)+(y2/a2-c2)=1
となる。
xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち，楕円の方程式について解説していきましょう。